爆标。

如果你熟悉 Power Diagram，就会知道求圆并的面积等价于求三维凸包：对每个圆做映射 $((x,y),r) \mapsto (x,y,x^2+y^2-r^2)$，下凸包在 $xOy$ 平面上的投影就是 Power Diagram 的对偶。此时只需要把对偶图的对偶图建出来，每个圆只会在自己的 Cell 内对面积产生贡献，分别求每个圆和 Cell 的交面积然后累加即可。

题目要求在线求出每次插入圆后的面积，可以每次重建整个凸包做到 $\mathcal{O}(n^2\log n)$ 的时间复杂度。实际上，我们只用考虑新加一个点对凸包形态的影响，因此用朴素增量法逐个加入点即可，时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$。