有一个显然的 DP 做法是 $f(l_1,l_2,\mathrm{len})$ 表示先序编号在 $[l_1,l_1+\mathrm{len})$ 中的点对应中序编号 $[l_2,l_2+\mathrm{len})$，转移时枚举 $l_1$ 的中序编号，时间复杂度 $O(N^4)$。

观察：考虑二叉树和长度为 $2N$ 的合法括号序列的双射。合法括号序列可以唯一表示为 $(A)B$ 的形式，此时匹配的括号为根，$A$ 为根的左子树，$B$ 为根的右子树。在这个双射下，匹配的括号对应顶点，而第 $i$ 个左括号就是先序编号为 $i$ 的顶点，第 $i$ 个右括号就是中序编号为 $i$ 的顶点。问题转化为数长度为 $2N$ 的合法括号序列，满足第 $A_i$ 个左括号和第 $B_i$ 个右括号匹配。

我们可以根据 $A_i$ 和 $B_i$ 推出匹配括号之间的包含关系，建成一棵树，其中父亲包含孩子，孩子从左到右排序。在这棵树上树形 DP，求出 $f(x,i)$ 表示 $x$ 的子树内（通过添加一些括号）构成长度为 $2i$ 的合法括号序列（为了保证 $x$ 对应的左右括号是匹配的），且使得子树内的点都满足条件的方案数。对于每个 $f(x,i)$ 我们需要对所有孩子从左到右进行 DP，转移的系数就是两点之间向上或向右走且不能经过某条斜线 $y=x+d$ 的路径数，可以直接用组合数求出。

因为对孩子进行 DP 的复杂度是 $O(\mathrm{deg}_x\cdot N^2)$，所以总的复杂度是 $O(MN^3)$。但稍微分析一下会发现孩子的大小取值范围是有限的，如果相邻的两个孩子分别是 $(A_1,B_1)$ 和 $(A_2,B_2)$，那么 $(A_1,B_1)$ 的子树大小不能超过 $A_2-A_1-1$，$(A_2,B_2)$ 的子树大小不能超过 $B_2-B_1-1$，因此对一组 $(x,i)$ 进行 DP 的复杂度不超过 $O(\sum_{j}(A_{j+1}-A_j)(B_{j+1}-B_j))$。我们可以把它看成平面上的矩形 $[A_j,A_{j+1})\times[B_j,B_{j+1})$，会发现对于所有的 $x$，所有的矩形都是不交的，因此总的面积是 $O(N^2)$。还要考虑 $i$ 这一维，最终复杂度不超过 $O(N^3)$。