先排除掉总票数不超过 $X$ 的情况。如果总票数超过 $X$，那么选择的中奖者的总票数只可能是 $X$ 到 $X-3$。我们枚举选出的总票数是 $X-i$，那么购买票数不超过 $i$ 的人必须被选。现在问题归约到了求选出 $K$ 个人，使得他们的总票数恰好是 $X$ 的方案数。这等于 $$ [x^Xy^K]\frac{(1-(xy)^{T_1+1})(1-(x^2y)^{T_2+1})(1-(x^3y)^{T_3+1})(1-(x^4y)^{T_4+1})}{(1-xy)(1-x^2y)(1-x^3y)(1-x^4y)} $$ 枚举分子的项，问题转化为分子为 $1$ 的情况。令 $Q(x,y)=(1-xy)(1-x^2y)(1-x^3y)(1-x^4y)$，则 $$ \frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=\frac{P(x,y)Q(x,-y)}{Q(x,y)Q(x,-y)}=\frac{P(x,y)Q(x,-y)}{Q(x^2,y^2)} $$ 分子上必须取 $x,y$ 次数奇偶性分别等于 $X,K$ 的项，然后就会递归到 $N,K$ 都减半的子问题，且 $P(x,y)$ 因为每次先乘上 $Q(x,-y)$ 再次数减半，因此其次数永远不会超过 $Q$ 的次数。递归到 $N=K=0$ 时答案即为 $P(x,y)$ 的常数项。这个过程也可以用数位 DP 来理解，也就是考虑把每一种人选的数量二进制分解，然后状态记录总和和人数的进位。时间复杂度 $O(\log X)$。