枚举 $\gcd$ 可以得到： $$ f(n,m,a)=\sum_{d=1}^a d g(\lfloor n/d\rfloor,\lfloor m/d\rfloor) $$ 其中 $$ g(n,m)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [\gcd(i,j)=1] ij $$ 莫反得到 $$ g(n,m)=\sum_{d=1}^{\min\{n,m\}}\mu(d)d^2S(\lfloor n/d\rfloor)S(\lfloor m/d\rfloor) $$ 其中 $S(n)=n(n+1)/2$。

两重整除分块，时间复杂度 $O(n^{3/4})$。如果预处理 $n,m\le B$ 的 $g(n,m)$ 可以优化成 $O\left(\frac n {\sqrt B}\right )$。