我正在尝试解决 BOI 的题目 Exponents。我查阅了多个不同网站上的题解，但所有解法无一例外地在某种程度上都使用了分治策略。有些解法构造了输入数组的笛卡尔树（直接利用了最大值元素会保留到最后的这个性质）；有些隐式地构建了最优的合并区间（例如官方题解的代码中维护区间并贪心地合并它们，如果在某个高度没有被合并，就会提升到新的高度）；还有如 Radewoosh 所写的官方题解，显式地使用了分治，先解决掉不包含最大值的所有子区间的信息，然后再围绕最大值最右一次出现的位置向左右尝试合并区间（我猜使用最左一次出现的位置也应当是等价的）。

这些方法让我思考并产生了一个强烈的猜想：

对于某个子数组 $a_l, a_{l+1}, \dots, a_r$，我们定义集合 $M$ 为其中所有等于最大值的下标的集合，也就是说，对于任意 $i, j \in M$，有 $a[i] = a[j] := \text{max_val}$，这是区间 $a[l..r]$ 中的最大值。那么，我相信下面的性质成立：

对于集合 $M$ 中的每一个下标 $i$，都存在某种最优的合并顺序，其中在合并过程中，先合并掉其他的元素，直到剩下的元素满足对任意相邻下标 $idx$，都有 $\max(a_{idx}, a_{idx+1}) = \text{max_val}$，此时就可以像构建二叉树那样合并这些元素。这里的“最优合并”是指使得最终代价最小的合并方式。

我想请求大家帮我证明这个性质。如果你能提供任何帮助，我将不胜感激。谢谢！