设 $f(P)$ 为排列 $P$ 的长度为 $3$ 的上升子序列数量，则要构造满足 $f(P)=f(P^R)$ 的排列，其中 $P^R$ 是 $P$ 的翻转。因为 $f(P)=f(P^{-1})$，只要 $P^{-1}=P^R$ 就一定满足，这也就等价于 $P(P(i))=N+1-i$。这样就容易构造 $N\bmod 4=0,1$ 的情况。

对于 $N\bmod 4=2,3$ 的情况，我们可以令 $P_1=1,P_N=2$，然后对于中间的 $N-2$ 个位置用上述构造。因为涉及到 $P_1$ 和 $P_N$ 的贡献只取决于中间的长度为 $2$ 的上升和下降子序列数量，而在上述构造上它们也是相等的。