傳說在夜之國中，有一棵包含 $n$ 個節點的彩虹樹。彩虹樹是一棵有根樹，節點編號為 $0\sim n-1$，其中節點 $0$ 是彩虹樹的樹根，節點 $i$（$1\le i<n$）的父節點為 $f_i$。

彩虹樹上的每個節點都能顯現出任意顏色。顏色共有無窮多種，但彩虹樹的繽紛度只由每棵子樹中出現過的不同顏色的數量決定，而與具體顏色無關。具體地，設以節點 $i$（$0\le i<n$）為根的子樹中共有 $c_i$ 種不同顏色的節點，則彩虹樹的繽紛度可以用序列 $[c_0,c_1,\ldots,c_{n-1}]$ 表示。例如，在下圖中，節點 $0,1,5$ 為藍色，節點 $2,4$ 為紅色，節點 $3$ 為黃色，因此彩虹樹的繽紛度為 $[3,2,1,2,1,1]$。

雲層的變化會導致彩虹樹的色彩顯現出某種特定的規律。具體地，每種規律可以由一個對應的節點子集 $S\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}$ 來描述：集合 $S$ 中的每個節點 $u$ 的顏色都與某個祖先顏色相同。形式化地，對於所有 $u\in S$，均存在 $u$ 的祖先 $p$（$p\ne u$），滿足 $u$ 與 $p$ 顏色相同。儘管受到上述規律的制約，彩虹樹仍能呈現出不同的色彩，形成不同的繽紛度。記滿足規律 $S$ 的彩虹樹的繽紛度的種類數為 $w_S$，其中兩種繽紛度不同若且唯若兩個序列中至少有一個元素不同。

請計算，對於所有可能的 $2^{n-1}$ 種規律，滿足每種規律的彩虹樹的繽紛度的種類數之和，即 $\sum_{S\subseteq\{1,2,\ldots,n-1\}}w_S$。由於答案可能較大，只需求出答案對 $998\,244\,353$ 取模後的結果。

實作細節

選手不需要，也不應該實作 main 函式。

選手需要確保提交的程式原始檔包含標頭檔 rainbow.h，即在程式開頭加入以下程式碼：

#include "rainbow.h"

選手需要在提交的程式原始檔 rainbow.cpp 中實作以下函式：

int rainbow(int c, int n, std::vector<int> f);

• $c,n$ 分別表示測試點編號與彩虹樹的節點數。$c=0$ 表示該測試點為範例。
• $f$ 是一個長度為 $n$ 的序列，其中 $f_0=0$，$f_i$（$1\le i<n$）表示節點 $i$ 的父節點。
• 該函式需要回傳滿足每種規律的彩虹樹的繽紛度的種類數之和對 $998\,244\,353$ 取模後的結果。
• 對於每個測試點，該函式會被評測程式呼叫恰好一次。

本試題目錄下的 template_rainbow.cpp 是提供的範例程式碼，選手可參考並實作自己的程式碼。

測試程式方式

選手可以在本題目錄下使用如下命令編譯得到可執行檔：

g++ grader.cpp rainbow.cpp -o rainbow -O2 -std=c++14 -static

對於編譯得到的可執行檔 rainbow：

可執行檔將從標準輸入讀入以下格式的資料：

• 第一行包含兩個非負整數 $c,n$。
• 第二行包含 $n-1$ 個非負整數 $f_1,f_2,\ldots,f_{n-1}$。

可執行檔將輸出以下格式的資料至標準輸出：

• 輸出一行一個非負整數表示 rainbow 函式的回傳值。

範例

輸入格式 1

0 3
0 0

輸出格式 1

8

說明

• 滿足規律 $S=\varnothing$ 的彩虹樹的繽紛度共有 $[1,1,1],[2,1,1],[3,1,1]$ 三種；
• 滿足規律 $S=\{1\}$ 的彩虹樹的繽紛度共有 $[1,1,1],[2,1,1]$ 兩種；
• 滿足規律 $S=\{2\}$ 的彩虹樹的繽紛度共有 $[1,1,1],[2,1,1]$ 兩種；
• 滿足規律 $S=\{1,2\}$ 的彩虹樹的繽紛度有 $[1,1,1]$ 一種。

因此答案為 $3+2+2+1=8$。

輸入格式 2

0 6
0 1 0 3 1

輸出格式 2

279

範例 3

見選手目錄下的 rainbow/rainbow3.in 與 rainbow/rainbow3.ans。

該範例滿足測試點 $3,4$ 的約束條件。

範例 4

見選手目錄下的 rainbow/rainbow4.in 與 rainbow/rainbow4.ans。

該範例滿足測試點 $5\sim7$ 的約束條件。

範例 5

見選手目錄下的 rainbow/rainbow5.in 與 rainbow/rainbow5.ans。

該範例滿足測試點 $8,9$ 的約束條件。

範例 6

見選手目錄下的 rainbow/rainbow6.in 與 rainbow/rainbow6.ans。

該範例滿足測試點 $10\sim12$ 的約束條件。

資料範圍

對於所有測試資料，均有：

• $1\le n\le200$；
• 對於所有 $1\le i<n$，均有 $0\le f_i<i$。

特殊性質 A：對於所有 $1\le i<n$，均有 $f_i=i-1$。

特殊性質 B：對於所有 $0\le i<n$，至多存在兩個 $j$ 滿足 $f_j=i$。