经常用多元 Lagrange 反演的同学都知道，这个题很能多元 Lagrange 反演。用 $x, y$ 计量白、黑点，$W, B$ 计量根为白、黑点的树，立刻有方程

$$ \begin{cases} W = x \exp(W+B) \\ B = y \exp W \end{cases} $$

然后考虑环。我们知道一个任意的环是

$$ \ln \frac1{1-BW-W} $$

$B, W$ 均出现奇数次的情况是

$$ \frac14\ln \frac{(1+BW)^2-W^2}{(1-BW)^2-W^2} $$

上式减下式再 $\exp$ 可得

$$ \frac1{1-BW-W} \left(\frac{(1-BW)^2-W^2}{(1+BW)^2-W^2}\right)^{1/4} $$

我们要求其 $\left[\frac{x^ny^m}{n!m!}\right]$，施多元 Lagrange 反演得

$$ \left[\frac{x^ny^m}{n!m!}\right]\left(\frac{(1-xy)^2-y^2}{(1+xy)^2-y^2}\right)^{1/4}\mathrm e^{(n+m)x+ny} $$

欲有 $O(nm)$ 做法，只需先求出 $\left(\frac{(1-xy)^2-y^2}{(1+xy)^2-y^2}\right)^{1/4}$ 的系数，且其微分方程是容易得到的。

记 $a_n(y) = \left[\frac{x^n}{n!}\right]\left(\frac{(1-xy)^2-y^2}{(1+xy)^2-y^2}\right)^{1/4}$，我们有递推式

$$ \begin{aligned} a_n =& -ya_{n-1} \\ & +2(n-1)(n-2)(1+y^2) a_{n-2} \\ & -(n-1)(n-2)y(1-y^2) a_{n-3} \\ & -(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(1-y^2)^2 a_{n-4} \end{aligned} $$