在多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 中，如果 $$ \displaystyle \lim_{\Delta x_i\to 0}\frac{f(x_1,\cdots,x_i+\Delta x_i,\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i} $$ 存在，则称其为函数在点 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 上对 $x_i$ 的偏导数，记作 $\frac{\partial}{\partial x_i}f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$。

计算法则：求偏导时，将其他自变量看作常数。如 $f(x,y)=x^2y+7xy^2$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=2xy+7y^2$。

定义一个多元函数的梯度是一个向量，$\nabla f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial}{\partial x_n})$。梯度的方向是函数在该点处变化最快的方向，也就是函数值增长最快的方向，而梯度的模（长度）则表示函数在该方向上的变化率（增长率）的大小。

具体什么用不用管，只需要知道想要求一个多元函数的极值点，只需令 $\nabla=0$，列出方程组并求解，得到的点就有可能是极值点。

拉格朗日乘数法。有一个 $n$ 元函数 $f(\boldsymbol x)$ 和 $m$ 条限制，第 $i$ 条形如 $g_i(\boldsymbol x)=0$，求出在满足所有限制下 $f$ 的极值点。拉格朗日乘数法指出，可以添加拉格朗日乘子 $\boldsymbol\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m)$ 并构造拉格朗日函数 $$ L(\boldsymbol x,\boldsymbol \lambda)=f(\boldsymbol x)-\sum_{i=1}^{m}\lambda_i g_i(\boldsymbol x) $$

声称这个函数的极值点和 $f$ 一样，为了求解其极值点，只需解方程 $$ \left\{\begin{matrix} \nabla_{\boldsymbol x}L(\boldsymbol x,\boldsymbol \lambda)=0 \\ \nabla_{\boldsymbol\lambda} L(\boldsymbol x,\boldsymbol \lambda)=0 \end{matrix}\right. $$ 拉格朗日乘数法将条件极值转为单独的一个函数极值。更深层次来说，拉格朗日函数是条件极值的对偶问题。

在本题当中，目标为求出 $f(\boldsymbol x)=\displaystyle \sum_{i=1}^{m}x_i^2c_i$ 的最小值，限制是

$$ g_i(\boldsymbol x)=\sum_{e_j=(a ,i)}x_j-\sum_{e_j=(i,a)}x_j+ \left\{\begin{matrix} 1 & i=1\\ 0 & 1

高斯消元，$n+m$ 个变量，$n+m$ 个方程。