Johnny היה חולה לאחרונה והחמיץ כמה שיעורים. הוא לא ייחס לכך חשיבות רבה, פרט לדבר אחד: פיזיקה היא התשוקה שלו, ולכן שאל מחברו סיכומי שיעורים. מהסיכומים למד שהחמיץ שיעור על מודל Bohr של אטום המימן, ו... כנראה לא למד שום דבר נוסף, משום שעל סמך הסיכומים שחזר את ״מודל Johnny-Bohr״ הבא¹.

האלקטרון המקיף את גרעין אטום המימן יכול להימצא רק במסלולים בעלי רדיוסים מסוימים. לכל רדיוס כזה מתאימות אנרגיה ותנע זוויתי מסוימים של האלקטרון. התנע הזוויתי מקוונטט, כלומר הוא יכול לקבל כל ערך שהוא כפולה שלמה חיובית של קבוע Planck המצומצם $\hbar$ (המוכר גם כקבוע Dirac). לכן מועיל למספר את המסלולים במספרים טבעיים, כך שלמסלול מספר $n$ מתאים תנע זוויתי $n\cdot\hbar$. אלקטרון יכול לקפוץ ממסלול $n_1$ למסלול נמוך יותר $n_2$ ($n_2<n_1$); במקרה זה הפרש האנרגיה נפלט כפוטון בעל תדירות ואורך גל מתאימים. מודל Johnny-Bohr אינו צופה את המצב ההפוך, כלומר בליעת פוטון באטום והעברת אלקטרון למסלול גבוה יותר. המודל קובע בדיוק לאילו מסלולים נמוכים יותר האלקטרון יכול לקפוץ. במחברת של חברו רשומה רב־קבוצה $B$ בעלת התכונה הבאה: אלקטרון יכול לקפוץ ממסלול $a$ למסלול $\lfloor a/b\rfloor$ עבור כל $b\in B$. לאחר מכן האלקטרון יכול לקפוץ שוב מהמסלול החדש $a'$ לפי אותו כלל. בפרט, מודל Johnny-Bohr מאפשר לאלקטרון לקפוץ למסלול הסופי שמספרו $0$, כלומר ״ליפול״ על הגרעין. כמו במודל Bohr המקורי, Johnny אינו יכול להוכיח שהמודל אכן מתאר את התנהגות אטום המימן, אך הוא יכול להבטיח שהוא תואם לנתונים הניסיוניים, לפחות לנתונים מניסויי המחשבה של Johnny. גאה בהבנתו העמוקה, Johnny הבחין שהמודל מעלה כמה שאלות מעניינות שעשויות לעזור לו להבין טוב יותר כיצד אטומים מתנהגים. החשובה שבהן היא: ״אם אלקטרון מתחיל במסלול מספר $n$, לכמה מסלולים שונים, כולל $n$, הוא יכול להגיע במספר כלשהו של קפיצות, אולי אפס?״

קלט

השורה הראשונה של קובץ הקלט מכילה שני מספרים שלמים $n$ ו־$m$ ($1\le n\le 10^{15}$, $1\le m\le 10$), המציינים בהתאמה את מספר המסלול ההתחלתי של האלקטרון ואת גודל הרב־קבוצה $B$. השורה השנייה והאחרונה מכילה סדרה של $m$ מספרים שלמים $b_i$, כאשר $1\le b_i\le 10^{15}$, המופרדים ברווח יחיד; אלה איברי הרב־קבוצה $B$.

פלט

בשורה הראשונה והיחידה הדפיסו מספר שלם אחד — מספר המסלולים השונים שבהם האלקטרון יכול להימצא לאחר מספר כלשהו של קפיצות, כשהוא מתחיל במסלול מספר $n$.

דוגמאות

קלט 1

20 2
2 3

פלט 1

8

הערה

החל ממסלול $n=20$ ועם $B=\{2,3\}$, האלקטרון יכול לקפוץ, באפס קפיצות או יותר, לכל אחד משמונת המסלולים הבאים: $20,10,6,5,3,2,1,0$.

¹ אף שהמודל נושא את שמו של אחד הפיזיקאים הגדולים ביותר, אין לו קשר רב לפיזיקה: חברו של Johnny אינו מצטיין בכתיבת סיכומים, וגם החום של Johnny אינו עוזר!